丘成桐:如何学好微分几何

Posted by admin on 8月 18 2022 Add Comments

在微分几何里,要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线,还要讨论测地线的性质等。

现在由于数学或几何的发展,不但把一组方程式简化,而且可由这化简的方程式去推得数学、几何、物理上的结论,并不一定要回来把方程式全展开才可获得相同的结论。

他说:如果一个弯曲的曲面可展开到任何另外的曲面上去,则每点的曲率是保持不变的。

这两个观点可以协调一致,即外在几何可以被认为是内在的。

等距嵌入嵌入问题是指一个具有某种结构的流形是否可以作为高维欧氏空间的子流形的问题。

另一种是里奇曲率,它是由截面曲率以适当的形式作和而成。

Bohn-Aharonov实验的装置(见图八),有一个内有磁场的圆筒,外面没有磁场,而在圆筒的外围接有线圈,那么圆筒内的磁场,便和通电之路径有关。

在三维欧氏空间E3中,与曲线相比,曲面有着重要得多的性质。

特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文,后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展,1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。

DoCarmo《曲线和曲面的微分几何》这本书可能是多数人认为最好的古典微分几何教材了(不过说实话我没看过,所以放在最后。

流形上定义了仿射联络,就得到仿射联络流形。

更重要的发展属于德国数学家(G.F.)B.黎曼。

外微分形式、德·拉姆定理与霍奇定理微分流形上的外微分形式是一个微分几何量,对它可进行外微分运算,这在几何上十分重要。

几何是geometry的音译。

个是老一辈宗师级人物,一个是年轻一辈领军人才。

这样的发展不但使几何问题的处理容易些,更有其重大的意义:解析之后,使可研究的图形的范围扩大,除了直线的一次方程式,或者圆周的二次方程式,我们还可以取任意的方程式f(x,y)=0,讨论所有点它的坐标(x,y)适合这样方程式的轨迹。

作者可以说是用心良苦,伍鸿熙先生除了是著名数学家,还是一个热衷数学教育并且倾注心血的人。

现代微分几何的含义和框架都远远远远突破了200年前那种基于否定第五公设的非欧几何的狭隘框架。

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